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1，充分条件、必须条件和充分必须条件的定义是什么？
大家都知道，长方形的面积等于长乘宽，用字母可以表示为S＝ab。笔者在听课中发现，有些老师在引导学生得出这个长方形面积公式之后，提醒学生说：“要求出一个长方形的面积，那么就必须知道它的长和宽。”这样的表达其实是错误的。如果我们能弄清四种命题的关系以及充分条件、必要条件和充要条件的含义，就能找到错误的原因。
从结构上分析，每个几何命题都由两部分组成，即条件部分与结论部分，它表明条件与结论之间的某种因果关系，形式上可以表达为“如果……（条件）那么……（结论）”。用A表示条件，B表示结论，就可以写成：
如果有A，那么有B; 或A?圯B。
用“如果……（条件）那么……（结论）”这种形式，对长方形的长和宽与面积之间的关系进行表达，可以有以下一些表达方式：
（1）如果已知一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积；
（2）如果已知一个长方形的面积，那么就可以求出（或确定）这个长方形的长和宽；
（3）如果不知道一个长方形的长和宽，那么就不能求出（或确定）这个长方形的面积；
（4）如果不知道长方形的面积，那么就不能求出（或确定）这个长方形的长和宽。
在上面的这些命题中，有肯定语气的命题和否定语气的命题。一个肯定语气的命题，以否定语气叙述时就得到了另一个命题；再把这两个命题的条件和结论交换位置又可以得到两个不同的命题。所以命题有四种形式，即原命题、逆命题、否命题和逆否命题。上面列举的四个命题（1）～（4）依次可称为原命题、逆命题、否命题和逆否命题。
如果不管命题的具体内容，只从它的结构形式来研究，上述四种命题可以简单表述为：
原命题：如果有A，那么有B；或A?圯B。
逆命题：如果有B，那么有A；或B?圯A。
否命题：如果没有A，那么没有B；或A?圯B。
逆否命题：如果没有B，那么没有A；或B?圯A。
这四种命题之间存在着下面的关系：
……
由上面的例子可知：成互逆或互否关系的两个命题，不一定同真同假；但互为逆否关系的两个命题，真则同真、假则同假。这种真则同真、假则同假的两个命题叫做等价命题。因此，原命题与它的逆否命题是等价的，原命题的逆命题与否命题也是等价的。利用命题的这种等价关系，要证明一个数学命题时，可以用证明和它等价的命题来代替，这样，数学命题的证明就多了一条思路。
弄清了四种命题及它们的关系后，我们可以进一步研究充分条件、必要条件和充要条件。
一个命题表示条件与结论之间的某种关系。某一事物的发生与存在，会促使另一个事物的发生与存在，或某一事物的不发生与不存在，也会促使另一事物的不发生或不存在。事物之间的这种关系，叫做条件关系。其中有充分条件、必要条件和充要条件等关系。
如果A成立，那么B成立，即A?圯B，这时我们说条件A是B成立的充分条件。“充分”的含义是：为使B成立，具备条件A就足够了。用日常语言表达充分条件的含义就是“有之必然”。例如：
命题：如果知道一个长方形的长和宽，那么就可以求出（或确定）这个长方形的面积。
这个命题的条件和结论分别是：
条件：知道一个长方形的长和宽；
结论：可以求出（或确定）这个长方形的面积。
显然，上面的条件是结论成立的充分条件。
如果A不成立，那么B也不成立，这时条件A是B的必要条件，即：A?圯B。必要条件的特征是“无之必不然”。由命题之间的等价关系可知，命题A?圯B与命题B?圯A等价。也就是说，我们要判断条件A是不是结论B成立的必要条件时，只要把B作为条件，A变为结论，判断条件B是不是结论A成立的充分条件即可。
综上所述，我们可以得出：如果A?圯B，那么A是B成立的充分条件。如果B?圯A，那么A是B成立的必要条件。
如果既有A?圯B又有B?圯A，那么A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件。这时，我们就说A是B成立的充分而且必要条件，简称充要条件。充要条件的特征是“有之必然，无之必不然”。
有了上面的这些逻辑知识，我们就可以判断本文开头时一些老师在课堂上说的命题是否正确。“要求出一个长方形的面积，那么就必须知道它的长和宽。”显然，知道长方形的长和宽并不是求出长方形面积的必要条件。也就是说，要求出一个长方形的面积，不是必须要知道它的长和宽。如我们要求出长方形M的面积，而知道长方形N的面积是10平方米，长方形M的面积是长方形N的2倍，显然我们就可以求出长方形M的面积是20平方米。而如果知道一个长方形的长和宽，当然就可以求出这个长方形的面积。就是说条件“知道长方形的长和宽”是结论“求出长方形面积”的充分条件，但并非必要条件。
笔者在听课中也曾发现，一个老师在梯形的面积计算公式S＝（a+b）×h÷2的教学中，也说成：“要求出梯形的面积就必须知道它的上底、下底和高。”在这个老师上完课后，笔者对他所教班级的学生进行测查与访谈，用了以下三个题目：
1．已知一个梯形的上底是6米，下底是9米，高是4米，求这个梯形的面积。
2．已知一个梯形的上底与下底的和是15米，高是4米，求这个梯形的面积。
3．有一个梯形的菜园（如图），一面靠墙，其余三面用篱笆围成。篱笆总长是19米，求这个菜园的面积。
……
全班正好50个人，测查结果是第1题49人对，1人错（这个学生在运用梯形面积计算公式时，忘记除以2），这样全班的正确率是98%；第2题做对的学生是9人，正确率是18%；第3题只有2人做对，正确率是4%。我们对做对第1题但不会做第2题的学生进行访谈，学生的回答基本上都是：“只知道上底与下底的和，不知道上底与下底分别是多少，因此，不能用公式求出这个梯形的面积。”对做对第2题的9个学生进行访谈，其中有4个学生说了这样的意思：“我开始也不知道怎么做，不能求出上底与下底到底是多少，但我再看数据与公式，发现知道上底与下底的和，也可以直接用公式。做完以后，我发现知道上底与下底的和更好，不需要再做加法。”其余的5个学生能够根据公式的特点，直接求出面积。从上面的数据和访谈中可以看出，学生还是受到了“要求出梯形的面积，就必须知道它的上底、下底和高”这样的命题的影响。
一个命题的条件对于结论来说是充分条件、必要条件还是充要条件这个问题，不但在空间与图形知识的教学中会遇到，在其他领域中，如数与代数的教学中也有这样的问题。
例如，我们常常让学生用交换加数位置的方法，也就是运用加法交换律来进行验算。如计算5437＋1738，即用下面的格式：
……
这时教师常说：如果两次计算的结果相等，那么计算就正确。其实这个命题是一个假命题，也就是说老师这样的说法是错误的。
事实上，根据加法交换律可以得出：如果两次计算都正确，那么两次计算的结果相等。这个命题是正确的，但它的逆命题不正确。即我们不能由“如果两次计算的结果相等”，来推出“两次计算都正确”。我们设想如果一个学生总是忘记进位，即遇到进位时他总是不进，这样他的计算如下：
……
显然两次计算的结果也相等，但结果都是不正确的。由此可见，条件“两次计算的结果相等”是结论“计算正确”的必要条件，但并不是充分条件。这种验算方法并不是一种“可靠”的方法。
在小学数学中，有一些命题的条件对于结论来说是充分而不必要的，也有一些命题的条件对于结论来说是必要而不充分的。如，“一个三角形的两边相等”是“这个三角形是等边三角形”的必要但不充分条件。还有一些命题的条件对于结论来说是充要条件。如，“一个自然数各个数位上数的和是3的倍数”是“这个数是3的倍数”的充要条件。小学数学教师只有明确条件与结论间的各种关系，才能更好地实施数学教学。
2，学习数学最重要的是什么？
初中数学宝典,你知道学习数学最重要的是什么吗? 在初中学习数学这们课程的时候很多的学生都是比较烦恼的,因为这们课程是非常难的,并且难点非常多,很多的学生在刚开始学习的时候还可以更得上,但是过一段时间之后就会变得非常的吃力,那么你知道初中数学宝典是什么吗?我们来了解一下吧! 复习笔记 初中数学宝典----复习 很多的学生在刚开始的时候学习这们课程不费劲但是往后可能会学的非常吃力,其实这就是因为在学习后边的内容时将之前的内容忘掉了,所以会导致学习比较吃力,所以现在就需要用到我们的初中数学宝典--复习. 在数学的复习上,我们一定要去研究解题的思路和解题的步骤,这样我们的成绩才会提高,数学试题无论如何变化都离不开最为基本的理论,因此我们要在自己的脑海中建立一个数学的知识树. 我们在复习数学的时候,一定要对基础的知识进行整理和回顾,数学是一个阶梯式的课程,因此我们要建立起一个数学的知识树,我们要先在大脑中设想这棵知识树,然后找出自己的不足所在,在进行针对性的回顾,对于那写容易搞混的知识点,要进行梳理并且做到完全的区分,最重要的一点是,我们应该多层次的去分析问题,举一反三,将重点放在我们的解题思路上. 数学的复习,要秉承一个原则,那就是小题突破大题稳定,我们不可能在大题上做到突破但是在小题上可以做到这一点,有意识的练习自己选择题和填空题的答题速度,当然速度是在正确的情况下,这样会给下面的试题留下很多的思考时间,使用各种方法来进行解答. 在数学的复习上,我们一定要去研究解题的思路和解题的步骤,这样我们的成绩才会提高,数学试题无论如何变化都离不开最为基本的理论,因此在脑海中建立一个数学的知识树是非常必要的,这可以更快速的帮助自己解题. 复习知识点 以上就是初中数学宝典的内容,当学习吃力的时候可以先复习一下之前的内容,当然这个时候之前记得笔记就可以用来复习了,这样可以更好的帮助我们学习后期的内容,并且可以改善学习吃力的问题.
3，如何正确的学习？
一：保持充足的睡眠 毛主席曾经说过，身体是革命的本钱。作为学生，我们有良好的体魄与精神，才能更好地对待学习。在学校往往看见一种同学，白天呼呼大睡，晚上却挑灯夜读，这样的作息学习规律是不是颠倒了？上课的几分钟都抓不住的话，课后你用一个小时两个小时来补也是很困难，费时费力不收还会有很多干扰因素。课堂上，老师在，纪律也在。如果你有充足的睡眠与精力就会使你在课堂上听课事半功倍。 二：提前预习 课后复习 有效笔记 爱迪生曾说，天才是1%的天赋，加上99%的努力。我相信我们每一个人都不是神童，无论是语数外还是政史地，每，一个学科在上新课之前都需要我们去复习一下，大致了解这节课的脉络内容，以至于老师在讲新课的时候，我们能够快速的跟上老师的思维。其次，美国科学家曾研究我一个遗忘定律，当一个人学习了新的内容，七天内，若他不复习，他的记忆力惠城陡崖陡崖式下降，如果在七天这个节点，他又再次复习的记忆度又会提上来，反复以往 记忆度就成了一条平滑的直线，存在于的脑海中 不会轻易忘记，特别是在一些的文字学科。有的同学都，喜欢买五颜六色的笔，在他的课本上做各种圈画，但是呢，如果你的笔记没有侧重点的话，导致你以后复习的时候只能够全篇通看全篇的色彩，会让你眼花缭乱，而忘记内容。 当然了色彩的多样化，对于某些同学来说是区分轻重知识的一个区别，要看同学本身，你自己应该如运用的笔的色彩。希望五颜六色的笔能够为你所用。 三：立足自身 不盲目竞争 竞争是我们人活在世界上，不可避免的东西。达尔文曾说物竞天择，适者生存。但是作为学生的我们多半心智不够成熟，选择不够坚定，立场不够明晰。往往被所呈现出来结果的分数迷失了自我，迷失了方向，丧失了了前进的动力。每个人的基础不同，每一个能优劣不同，所以我们应该立足自身，看见自己的闪光点和缺点，也要看见别人的闪光点，缺点。切勿用自己的缺点去，与别人的闪光点进行比较，那可是对我们来说是致命一击。自己可以立个flag，每天进步一点点，人生进步一大截。After All 人生的对手，最终是我们自己。
4，如何正确学习
高考是人生中十分重要的一个转折点，它会区分出是上名校还是去专科，又或者就业，无论我们是否承认考入名校确实意味着学习上你是成功的，而高三作为高考的冲刺阶段，只有经历过高三的人才懂得其中的心酸，所以确实需要你更加努力。在同等的时间里，提高学习效率似乎成为每位学子的愿望，但是如何提高效率确实是个大难题。 首先可以指定小计划，用便利贴将要完成的计划写在上面，每完成一项就划掉一个任务，无形之中还可以提高自己的满足感。其实这个与跑马拉松是一个道理，曾经一位马拉松运动员经常获得第一，后来有人问他原因，原来他每次都会提前考察场地，将场地的标志性建筑物记下来，跑步时每到一个建筑物，意味着自己已经完成一部分，可以心理暗示一下自己，避免因为过长的道路而胆怯。 再者可以多学科穿插性学习，数学是一门较难的学科，有的人可能因为某个题，浪费一晚上的时间，最终也没有算出来，我认为这部分时间是浪费的，当有难题不知道如何解答时，可以先放下，试着换一个思路，做一下语文或者英语等不需要计算的科目，等到彻底放下心来，再看这道题，也许就有不一样看法。 最后就是计时完成作业，把每次作业都当成是考试，毕竟平时高考化，高考才能平时化，你会发现有时做作业会注意力不集中，这往往会浪费一部分时间，而计时之后，就把它当成考试一样，全身心的投入其中，所以计时完成作业是提高效率的方式，也是训练自己应试技巧的方式，如果遇到难题，考试你会花费过多的时间吗？想必不会，因为一旦如此，后面你可能完成不了试卷。